Bonjour! Je suis bloqué sur cette question de mon DM, es que je pourrais avoir de l’aide merci!


On considère la division euclidienne par
3.
On souhaite classifier tous les entiers
dans Z en fonction de leurs restes par la
division euclidienne par 3.
Rappelons que les restes possibles par la
division euclidienne par 3 sont 0; 1 et 2.
Notons 0³ l'ensemble des entiers dont le
reste est 0 par la division euclidienne par
3.
i) Quelle égalité vérifie un élément ap-
partenant à 0³?
Donner l'écriture en extension de 0³.
De même, on note 1³ l'ensemble des
entiers dont le reste est 1 par la divi-
sion euclidienne par 3.
ii) Quelle égalité vérifie un élément ap-
partenant à 1³? Donner l'écriture en
extension de 0³.
iii) Montrer que la somme de deux élé-
ments appartenant à 0³, appartient à
0³.
iv) Que dire de la somme de deux élé-
ments appartenant à 1³? Démontrer
votre résultat.
v) Que représente 3³ ? Expliquer votre
raisonnement.
vi) En déduire une classification de Z.
vii) Remplaçons maintenant 3 par 8
dans l'exercice. Quelle serait la clas-
sification de Z? Et si on remplace 3
par n € N*?