Bonjour j'ai un exercice de maths expertes sur lequel je bloque depuis un bon moment, j'ai vraiment besoin d'aide s'il vous plait :



On définit, pour tout entier naturel n, la suite (Zn) de nombres

complexes par :

Z0 = 0

Zn + 1 = αZn +i



1) Etude des cas α = − 1 et α = 1.

Dans chacun de ces deux cas, exprimer Zn en fonction de n



2)Recherche d’un invariant. Soit α ≠ 1.

Pour quelle valeur de Z0 la suite est-elle constante ?



3) Calcul de Zn en fonction de n et de α. Soit α ≠ 1.

a. Vérifier les égalités: Z1 = i; Z2 = (α+1)i; Z3 = (α²+α+1)i

b. Démontrer que, pour tout entier n, positif ou nul, on a

Zn = ((α^n)-1 /α-1 )i



4)Étude du cas α = i.

a. Montrer que Z4=0.

b. Pour tout entier naturel n, exprimer Zn + 4 en fonction de Zn.

c. Exprimer Zn en fonction de n