Soit a et b deux réels positifs tels que a ^ 2 - b ^ 2 = 1 Résoudre le système suivant : ch(x) + ch(y) = 2a ,\\ sh(x)+sh(y)=2b
Exercice 2
1. Justifier que la fonction sinus hyperbolique réalise une bijection de R sur R.
2. On note argsh la bijection réciproque de sh. Calculer argsh(1) puis établir que: forall x \in R , gsh(x) = ln(x + sqrt(x ^ 2 + 1))
3. Etudier la régularité de argsh, donner sa dérivée, son tableau de variation et sa courbe re- présentative.
Exercice 3
On considère la fonction f:R-R définie par f(x) = (x ^ 3)/9 + (2x)/3 + 1/9
et on définit la suite (x n ) n >= 0 en posant x_{0} = 0 et x n + 1 =f(x n ) pour n \in N
1. Montrer que l'équation x ^ 3 - 3x + 1 = 0 possède une solution unique a epsilon * 10.1/2 * L x ^ 3 - 3x + 1 = 0
2. Montrer que l'équation f(x) = x est équivalente à l'équation et en déduire
que a est l'unique solution de l'équation f(x) = x dans l'intervalle [0, 1/2] 3. Montrer que la fonction ƒ est croissante sur R ^ + et que f (R^ + ) subset R^ + En déduire que la suite (x_{n}) est croissante.
4. Montrer que f(1/2) < 1/2 et en déduire que 0 <= x_{n} < 1/2 pour tout n >= 0
5. Montrer que la suite (x n ) n > 0 converge vers a.