Le but de ce devoir est de prouver que le nombre √2 n’est pas rationnel. On raisonnera par l’absurde.
Supposons que √2 soit un nombre rationnel, alors il peut s’écrire sous la forme d’une fraction irréductible : √2 = p/q où p et q sont des nombres entiers relatifs non nuls.
1) a. Montrer que p²=2q²
b. Le nombre p² est-il pair ou impair ? Justifier.
2) a. Recopier et compléter le tableau ci-dessous
Si le chiffre des unités de p est 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Alors le chiffre des unités de p² est
b. En déduire que si un nombre quelconque est pair, alors son carré est pair.
c. Montrer que si un nombre est impair alors son carré est impair.
d. En déduire que p est un nombre pair.
3) Comme d’après la question précédente p est pair, on peut affirmer que p=2p'².
a. Démontrer alors que q²=2p'²
b. Déduisez en, à l’aide des questions précédentes que q est un nombre pair aussi.
4) Pourquoi les réponses des questions 2)d. et 3)b. sont contradictoires avec l’énoncé ?
5) Conclure.