Exercice 2 Construire un parallelogramme à partir d'un quadrilatère quelconque : le théorème de Varignon.
On considère ABCD un quadrilatère quelconque comme
ci-contre.
On construit les points M, N, P et Q de la sorte:
►M est le milieu de [AB].
► N est le milieu de (BC).
►P est le milieu de [CD).
► Q est le milieu de (DA).
1. a) Démontrer que les droites (AC) et (QP) sont parallèles.
Indication: Utiliser la réciproque du théorème de Thalès dans le triangle ACD.
b) En déduire alors que QP = AC.
Indication: Utiliser le théorème de Thalès dans le triangle ACD.
2. Par un raisonnement analogue à celui de la question 1, démontrer que MN=;
3. En adaptant le raisonnement des deux premières questions, démontrer également que :
1) D'abord (QM)//(DB), 2) puis que QM =
= DB₁
4. En déduire la nature du quadrilatère MNPQ. Justifier.
M
N-AC. Que dire alors des longueurs MN et QP?
3) et enfin que PN = DB =Q