Pouvez vous m’aidez svp ?

EXERCICE 1
Dans un lycée, on s'intéresse à la probabilité qu'un élève soit absent durant une période d'épidémie de
covid.
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Un élève malade est absent.
La première semaine d'école, l'élève n'est pas malade.
Si la semaine n l'élève n'est pas malade, il tombe malade la semaine n+1 avec une probabilité égale
à 0, 12.
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Si la semaine n l'élève est malade, il reste malade la semaine n+1 avec une probabilité égale à 0, 32.
On désigne, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, par A,, l'événement «l'élève est absent pour
cause de covid la n-ième semaine ». On note Pn la probabilité de l'événement An
On a ainsi : P1=0
et, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 :0

1. (a) Déterminer la valeur de P3 à l'aide d'un arbre de probabilité.
(b) Sachant que l'élève a été absent pour cause de covid la troisième semaine, déterminer la probabilité
qu'il ait été aussi absent pour cause de covid la deuxième semaine.

2.(b) Montrer que, pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1, Pn+1 = 0,2Pn +0,12.
(c) Montrer que la suite (Un) définie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à 1 par Un=Pn-0, 15
est une suite géométrique dont on donnera le premier terme et la raison q.
En déduire l'expression de Un puis de p₁, en fonction de n et q.
(d) En déduire la limite de la suite (Pn).
3. Il y a 1220 élèves dans ce lycée. Pour la suite on admet que la probabilité pour qu'un élève soit malade
une semaine donnée durant cette période d'épidémie est égale à p= 0, 15.
On suppose que l'état de santé d'un élève ne dépend pas de l'état de santé de ses copains. On désigne
par X la variable aléatoire qui donne le nombre d'élèves malades une semaine donnée.
(a) Justifier que la variable aléatoire X suit une loi binomiale dont on donnera les paramètres.
(b) Quelle est la probabilité qu'exactement 1 élève soit malade une semaine donnée (écrire la formule).
(c) Quelle est la probabilité qu'au plus 2 élèves soient malades une semaine donnée (arrondir au
millième)?
(d) Calculer E(X) l'espérance mathématique de la variable aléatoire X.