On appelle suite arithmético-géométrique une suite définie par une relation de récurrence du type : Un+1 = qUn +r pour tout n appartient N, où q et r sont deux nombres réels non nuls et q différent de 1. Pour trouver le terme général de telles suites, il faut découpler les côté « arithmétique » du côté « géométrique » en utilisant une suite auxiliaire, qui va être elle géométrique, puis revenir à la suite initiale.

1. On introduit une suite (Un) qui est décalé de la suite Un d’un paramètre a. Autrement dit, pour tout n différent N, Un = Un -a. Calculer Un+1 en fonction de q, r, a et Un ( on utilisera la relation de récurrence de la suite Un)

2. Sachant que Un = Vn +a pour tout n appartient N, exprimer Vn +1 en fonction de Vn et des paramètres q, r,a
3. Que doit valoir le paramètre a pour que la suite (Vn) soit géométrique de raison q
4. Calculer, pour tout n appartient N, le terme général Vn (le résultat dépendra de n, de q,r et de U0) . En déduire le terme général Un.
5. Application : En reprenant la méthodologie de l’exercice, trouver la formule explicite de la suite définie par U0 =3 et Un+1 = 2Un +3, pour tout n appartient N


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