II. Soit la matrice B ci-dessous.
B= 1 0 0 T= 1 0 0
1 -1 0 0 -1 2
-1 2 -1 0 0 -1
1. Factoriser le polynome caractéristique de B.
2. Déterminer les sous-espaces propres et les sous-espaces caractéristiques de B.
3. Montrer que la matrice B est trigonalisable.
4. On note f l'endomorphisme de R³ dont la matrice dans la base canonique Bo = (e1,e2, e3)
est B et on pose u₁ =t (-2,0, 1), u2 = t(0,0,1) et u3 = t(0, 1,0).
4.1 Montrer que B = (u₁, U2, U3) est une base de R³ et que la matrice de f dans la base B
est T.
4.2 Trouver une matrice P inversible telle que BP = PT (c'est-à-dire B = PTP-¹).
4.3 Déterminer B pour n E N.
( avec démonstration à l’appuie svp)