Exercice 2: (10 pts)
Partie I:
Soit p la fonction définie sur l'intervalle [-3;4] par: p(x)=x²-3x² +5x+1.
1) Déterminer les variations de la fonction p sur l'intervalle [-3;4].
2) Justifier que l'équation p(x)=0 admet dans l'intervalle [-3;4] une unique solution qui sera notée a.
3) Déterminer une valeur approchée du réel a au dixième près.
4) Donner le tableau de signes de la fonction p sur l'intervalle [-3;4].
Partie II :
Soit la fonction définie sur l'intervalle [-3;4] par: f(x)=;
1+x²
On note C, sa courbe représentative dans un repère orthogonal.
1) a) prouver que la dérivée de la fonction f sur l'intervalle [-3;4] est f'(x) = (x−1)²e²
(1+x²)²
b) Justifier que la courbe C, admet une tangente horizontale au point d'abscisse 1.
2) Les concepteurs d'un toboggan utilisent la courbe C, comme profil d'un tobogan.
Ils estiment que le toboggan assure de bonnes sensations si le profil possède au moins deux points d'inflexion.
4
2
es
1
2
-3 -2 -1 0
Représentation de la courbe
intervalle [-3;4]: f"(x) = P(x)(x-1)e²
(1+x²)³
3
Vue de profil du toboggan
a) D'après le graphique ci-dessus, le toboggan semble-t-il assurer de bonnes sensations ? Argumenter.
b) On admet que la fonction f", dérivée seconde de la fonction f, a pour expression pour tout réel x de
où p est la fonction définie dans la partie I.
En utilisant l'expression précédente de f", répondre à la question : « le toboggan assure-t-il de bonnes
ensations ? ». Justifier.