bonjour j'aimerai avoir votre soutient s'il vous plait .
EXERCICE 1. On definit dans l'ensemble des nombres réel R la relation S par xSy ssi E(x) = E(y); E(x) étant la partie entiere de z. Déterminer le domaine et l'image de S.
EXERCICE2. Soit f: a → bune application. Montrer que f est injective si et seulement si pour toutes parties X₁, X₂ de a, f(X₁Xx₂) = f(X₁) f(X₂)
EXERCICE3. Le produit cartésien de deux ensembles est-il une opération associative?
EXERCICE4. Donnez la décomposition canonique de l'application R→R: xE(x) EXERCICE5. Soit R une relation binaire sur un ensemble a. On pose Rº= 1a, R¹ = R₁ R² = Ro R, R³ = (Ro R)circR, R = R o R. Décrire la relation S = UR". Montrer que S est un préordre.
EXERCICE6. Soit R un préordre sur un ensemble E. 1. Montrer que la relation binaire p (apy) (xRy) et (yRx) est une équivalence sur E 2. Pour , y € E/p; on pose ( 2 ) ⇒ (rRy). Montrer que cette relation est une équivalence sur E/p
EXERCICE7. Soit (E,≤) un ensemble ordonné : on suppose que toute partie non vide de E admet une borne supérieure. Montrer que toute partie minorée non vide admet une borne inférieure.
EXERCICES8. Soient E, F, G, H quatre ensembles et trois applications: f: E→ Fig: F→G;h: G→ H. Montrer que go f et ho g sont bijectives si et seulement si f, g et h le sont.
EXERCICE9. Soient A et B deux parties non vides d'un ensemble E. et f: P(E) → Ax P(B): X+ f(x) = (XnA, XnB). Etudier les propriétés de f: injectivité, surjectivité Expliciter f¹ dans le cas où f est une bijection
EXERCICE10. Sur un ensemble E, on définit deux lois internes et * admettant e et f pour élément neutres respectifs et vérifiant Vx, y, u, ve E, (x *y) (u*v) = (ru)* (y.v). Montrer que e = f, que les lois et coincident, qu'elles sont commutatives et associatives
EXERCICE11. Soient m et n deux entiers naturels premiers entre eux. Montrer que l'anneau Z/mnZ est isomorphe à Z/mZx Z/nZ​