2) Pour approcher ce nombre à l'aide de rationnels, on définit les nombres suivants
1
1
F₁ = 1; F₂ = 1+;
F3 = 1+
F = 1+
F₂ = 1 +
2+
; Fs = 1 +
1
1
1 + F₁
g(x) = 1 +
2+
a) Simplifier chacune des fractions précédentes.
b) Écrire, de la même manière, F, et F6
c)
Pour calculer plus rapidement ces nombres, il peut être utile de remarquer que chacun se
calcule à partir de celui qui le précède. Vérifier que :
1
1+ F₁
Soit g la fonction définie sur [0; + co[ par :
F6 = 1 +
1
2+
1
1+ Fs
1
12
1+z
d) Reprendre les égalités précédentes en utilisant la fonction g.
e) Écrire une relation liant Fn+1 et F.
f) En partant de F₁, combien de fois faut-il appliquer g pour obtenir F6? F10? F?
/2
3) Les égalités du début de l'exercice suggèrent que F, se rapproche de √2 quand n devient
grand. La touche « ANS » d'une calculatrice permet de récupérer le résultat du dernier calcul
effectué. On peut donc obtenir différents termes, en donner quelques uns en précisant le
rang. Que remarque-t-on ?