Exercice 3 (Nombres de Mersenne): On appelle nombres de Mer-
senne les entiers définis par :
M₂=2"-1 nEN
1): Calculer les quinze premiers nombres de Mersenne. Parmis eux, les-
quels sont premiers?
2) Montrer que pour tout entier k22 et pour tout réel :
2-1=(x-1)(x-1 +−2+
+x+1)
3): Soit un entier n 22, on suppose que n n'est pas premier et on pose:
n= kx d avec k et d entiers compris entre 2 et n.
Montrer que M, est divisible par : (2-1).
4): En déduire une condition pour que M,, soit premier.