Soit la fonction f définie sur [0; 1] par f(x) On considère la suite (un) définie par uo = 0 et pour tout entier naturel n, un+1 = f(un). 1. Utiliser la calculatrice pour afficher le graphique de la suite (un). 2. Quelle conjecture peut-on émettre concernant le sens de variation et la convergence de la suite (un)? 3. Étudiez les variations de f et déduire que pour tout x € [0; 1], 0≤ f(x) ≤ 1. 4. Montrer que pour tout entier n € N, 0≤ un ≤ 1. 5. Montrer que la suite (un) est strictement croissante. 6. (a) Déduire que la suite converge vers une limite l. (b) Montrer que l = f(l). (c) Déterminer l. (d) Pour tout nombre réel ε > 0, on souhaite déterminer le rang N à partir duquel la distance entre un et l est strictement inférieure à e. Construire un algorithme permettant de résoudre ce problème. (e) Programmer, puis déterminer le rang N associé à i. ε = 10-³. ii. ε = 10-6.
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